GEOMETRIA ANALÍTICA

Geometria analítica é um campo da matemática em que é possível representar elementos geométricos, como pontos, retas, triângulos, quadriláteros e circunferências, utilizando expressões algébricas.

A geometria analítica tem como principal objetivo descrever objetos geométricos utilizando um sistema de coordenadas, o plano cartesiano.

O que são pontos notáveis?

Os pontos notáveis de um triângulo são elementos importantes na estrutura de formação e de caracterização dessa forma geométrica.Além dos elementos mais comuns trabalhados em um triângulo, temos outros, como a mediana, baricentro, bissetriz, incentro, ortocentro, mediatriz e o circuncentro.

BARICENTRO

Mediana: assumindo um triângulo ABC, a mediana é o segmento de reta que segue de um vértice até o ponto médio do lado oposto.

Estas medianas se encontram em um mesmo ponto, que é chamado de Baricentro, dado por G.

Como se calcula o baricentro?

Sabendo que cada vértice possui suas coordenadas, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), e seu Baricentro G(xG, yG), basta fazer a média aritmética entre os valores de x para os vértices A, B e C e os valores de y para os mesmos vértices.

Propriedade 1

Dada qualquer uma das medianas do triângulo, o baricentro divide-a em dois novos segmentos cujos comprimentos estão em razão 1 para 2.

Propriedade 2

Em todo triângulo, o baricentro é um ponto interno. Como as medianas são segmentos que ligam de forma interna o vértice ao ponto médio do lado oposto, ou seja, são sempre segmentos internos do triângulo, consequentemente, o baricentro é um ponto interno do triângulo.

INCENTRO

Bissetriz - Reta (semirreta, segmento de reta) que sai do vértice de um ângulo, dividindo este ângulo em dois ângulos iguais. Por exemplo, a bissetriz do ângulo 180° é o segmento que divide este ângulo em dois ângulos iguais a 90º.

Propriedades - Em um triângulo teremos três ângulos internos, em virtude deste apresentar três vértices. Através desses ângulos, partindo do vértice que secciona o ângulo ao meio, podemos traçar uma bissetriz. Ao traçarmos as bissetrizes por meio dos três pontos, elas vão se intersectar em único ponto, sendo este denominado incentro.

Porém, o real motivo em especial para que esse encontro das bissetrizes se chame incentro: este ponto recebe tal denominação porque é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Exemplo Prático - A construção da Praça Vilaboim, localizada em São Paulo, é um exemplo da utilização do incentro na construção do seu piso. Por ter um formato triangular, foi preciso fazer um cálculo por meio das bissetrizes que partem dos três pontos da praça.

CIRCUNCENTRO

Mediatriz - A reta perpendicular que passa no ponto médio em um dos lados desse triângulo.

Circuncentro - Ponto de encontro/intersecção das três mediatrizes.

Propriedades - A distância do circuncentro a qualquer um dos vértices do triângulo é sempre igual, ou seja, existe uma circunferência circunscrita, cujo centro é o circuncentro do triângulo.

Propriedades nos triângulos retângulo, obtusângulo, acutângulo e equilátero - No triângulo retângulo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa, no obtusângulo ele fica exterior ao triângulo e no acutângulo ele fica interior ao triângulo; No triângulo equilátero, o círculo é formado tanto internamente quanto externamente.

Exemplo Prático - Joãozinho está com um problema em sua comunidade. Uma horta será montada e as três famílias envolvidas no mutirão desejam ficar próximas a ela. Joãozinho então leva uma sugestão para a reunião da comunidade que é para encontrar o ponto que minimiza a soma das distâncias até cada um das casas. Para conseguir chegar nesse ponto é necessario que Joãozinho calcule o circuncentro entre as 3 casas.

ORTOCENTRO

Ortocentro - Ponto de encontro de todas as alturas de um triângulo. Na figura abaixo o ortocentro está sendo representado pela letra O.

Propriedades do ortocentro - Dependendo de qual for o tipo de triângulo (acutângulo, retângulo, obtusângulo), o ortocentro está localizado em um determinado ponto.

Quando o triângulo é acutângulo (todos os ângulos menores que 90°), o ortocentro do triângulo está localizado em seu interior. Na figura abaixo o ortocentro está sendo representado pela letra O.

Quando o triângulo é retângulo (possui um ângulo igual a 90°), o ortocentro está localizado no vértice oposto à hipotenusa. Na figura abaixo o ortocentro está sendo representado pela letra O.

Quando o triângulo é obtusângulo (possui um ângulo maior que 90°), o ortocentro está localizado em seu exterior, pois duas de suas alturas estão localizadas em seu exterior e uma em seu interior. Na figura abaixo o ortocentro está sendo representado pela letra O.